摘" 要：直线型轨迹问题中存在一种折返型轨迹问题，该类问题的难点之一是折返点的确定. 为了突破这一难点，将折返点的确定问题转化为求解目标线段的最值问题，借助典型例题归纳了四类题型的不同解决方法，形成了确定折返点的“三步走”解题策略. 基于此，提出了教学启示，即在教学中应当注重问题引导、注重角色转换、注重方法延伸，从而形成解题思路、生成数学思想、生长数学思维.
关键词：直线型轨迹；折返点；目标线段；教学启示
中图分类号：G633.6" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）02-0059-06
引用格式：程如朋. 直线轨迹问题中折返点的确定方法与教学启示［J］. 中国数学教育（初中版），2025（2）：59-64.
轨迹问题是近年来各地中考经常考查的一类压轴问题. 实际上，许多轨迹问题都可以转化为求解某条线段的最值问题. 在初中阶段，动点的运动轨迹可以分为直线和圆两类，其中直线型的轨迹又可以分为单程型轨迹和折返型轨迹两类.
如图1，若点C从线段AB的某一定点D出发，朝着点B的方向运动到定点E后停止，则动点C的轨迹就是“单程型轨迹”. 但是若动点C运动到定点E后返回，则动点C的轨迹就是典型的“折返型轨迹”，定点E就是折返点的位置. 在该类问题中，起点和终点一般都是比较容易确定的，难点在于如何确定折返点的位置.
为攻破这一难点，继续思考，图1中的点A，B均为定点，因此，当点C到达折返点E时，即线段AC取得最大值或线段BC取得最小值. 将该动点与某一定点相连产生的线段称为“目标线段”. 通过对目标线段的最值分析即可确定折返点的位置. 基于此，将通过相关实例对确定折返点位置的方法进行阐述，并提出关于该类问题的教学启示.
一、方法探究
1. 函数法
例1" 如图2，已知线段[AB=8]，过点A作[CA⊥][AB]，且[CA=3]，过点B作射线[BD∥AC]，点E是线段AB上的动点，连接CE，过点E作[EF⊥CE]交射线BD于点F，在点E从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长为" " " " .
思路引领：点F在哪里运动；如何求路径长度；找到起点和终点后，能发现什么；可以借助哪条目标线段来寻找点F的折返位置；用什么数学方法描述目标线段的变化情况；确定折返点，求解路径长.
由题意得，点F的运动路径显然在射线BD上. 学生容易想到寻找运动的起点与终点，发现起点与终点刚好为同一点. 因此，可以判断点F的运动轨迹为折返型轨迹. 为确定折返点的位置，可以将定点B作为标准，将线段BF作为目标线段. 因此，可以先表示出线段BF的长度，再研究其变化情况. 根据“一线三直角”基本模型，易证[△ACE∽△BEF]，可得[ACBE=AEBF]. 不妨设[AE=x，BF=y]，则[BE=8-x]，得[38-x=xy]，即[y=][13x8-x]. 由此发现线段BF的长度是关于线段AE长度的二次函数，所以只需要研究函数[y=13x8-x]在[0≤x≤8]范围的变化情况即可确定点F的轨迹类型. 显然，当[x=4]时，[y]的最大值为[163]. 由此可以确定点F的轨迹类型为折返型轨迹. 其中，当[BF=163]时的点F就是动点发生折返的位置.
基于上述分析，发现可以通过构造与目标线段相关的函数来确定一个点的轨迹类型. 若函数存在明显的最值情况，则轨迹属于折返型轨迹，且当函数在取得最值时，动点发生折返；反之，则为单程型轨迹. 构造函数的思路多样. 该题借助几何图形发现基本模型，通过设置自变量和因变量，依据相似三角形等知识来直接找到函数解析式.
例2" 如图3，抛物线[y=x2]与直线[y=x]交于O，A两点，将抛物线沿射线OA方向平移[42]个单位长度，在整个平移过程中，抛物线与直线[x=3]交于点D，则点D经过的路径长为" " " " .
借助例1的思路继续分析. 先判断点D的运动路径是在直线[x=3]上，再找到运动的起点和终点. 记起点为[D1]，终点为[D2]，发现两点的位置如图4所示，此时仍不能轻易断定点D的运动是否为单程型轨迹. 如图5，若点D直接从点[D1]运动到点[D2]，则为单程型轨迹；若点D从点[D1]运动到点[D3]再运动到点[D2]，则为折返型轨迹.
该题是借助函数法判断轨迹类型并确定折返位置的另一种思路，即当题目本身就涉及函数图象时，可以借助原函数的解析式表示动点的坐标，通过研究其坐标的变化情况确定轨迹类型，从而找到动点发生折返的位置.
综上所述，在确定动点运动的起点和终点后，不能轻易判断动点的轨迹类型，还需要进一步判断其是否存在折返点. 因此，需要找到一条目标线段，通过求解该线段的最值来确定动点运动的折返点. 其中，构造相关函数是寻找折返点、求解路径长的一种有效途径. 结合例题，归纳出这类问题的函数法的解决思路为：分析题目特征构造函数；求解函数最值确定轨迹类型；求解路径长度.
2. 隐圆法
例3" 如图7，在Rt[△ABC]中，[∠C=90°]，[AC=][8]，[BC=6]，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，[MN⊥BM]交边AB于点N. 当点M从点C移动到AC的中点时，点N的运动路径长为" " " " .
思路引领：点N在哪里运动；如何求路径长度；找到起点和终点后，能发现什么；可以借助哪条目标线段来寻找点N可能存在的折返位置；观察图形特征，BN在什么图形中，可以连接怎样的辅助线，构造怎样的图形，从而转化线段BN的长度；确定隐圆，寻找折返点，确定运动路径长.
由题意知，点N的运动路径在线段AB上. 先分析起点与终点，发现点N的运动起点为点A，记运动终点为点[N1]，此时点N的运动轨迹仍存在两种类型（如图8）. 为确定可能存在的折返点，可以将线段BN作为目标线段. 借助几何方法构造函数，发现无法借助已经学习的函数进行研究. 因此，该题需要从图形的本身特征出发展开分析. 分析点N的运动方向可知，当点N发生折返时，线段BN取得最小值，故该题可以转化为求解线段BN最小值的问题.
由于线段BN始终位于[Rt△BMN]中，且BN为斜边，结合已经学习的关于斜边的知识，自然地联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半”这一性质. 如图9，取BN的中点O，连接OM，则[BO=MO=][NO，BN=2BO]. 由此可以发现点B，M，N在以点O为圆心的圆上，且BN最小时，BO（⊙O的半径）最小. 因此，若该题中存在满足题意的[△BMN]，则⊙O必定与线段AB相交于两点，且与线段AC相交. 如图10，当⊙O的半径小到图中位置时，⊙O与线段AC无交点，此时不成立，于是需要继续增大⊙O的半径，直到⊙O与线段AC开始有交点，即当⊙O与AC相切（如图11）时，BO取得满足题意的最小值. 此时BN也取得了最小值. 通过计算可以求出点O是点N在运动过程中经过的位置，且该位置为点N运动过程中的折返点.
3. 等效线段法
例4" 如图14，有一张矩形纸条ABCD，[AB=5 cm，][BC=2 cm]，点[M，N]分别在边[AB，CD]上，[CN=1 cm.]现将四边形BCNM沿MN折叠，使点[B，C]分别落在点[B，C]处. 在点M从点A运动到点B的过程中，若边[MB]与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为" " " " .
思路引领：点E在哪里运动；如何求运动路径长度；找到起点和终点后，能发现什么；可以借助哪条目标线段来寻找点E可能存在的折返位置；观察图形特征，EN在什么图形中，是否存在与EN相等的等效线段；借助等效线段确定最值，寻找折返点，确定运动路径长.
由题意知，点E的运动路径在线段CD上，分析运动的起点与终点，发现点E的运动起点为点[E1]，运动终点为点[E2]，如图15所示，但依旧无法判断轨迹类型. 结合例1来分析，可以将定点N作为标准，将线段EN作为目标线段. 分析点E的运动方向可知，当点E发生折返时，线段EN应取得最小值. 观察图形，EN存在于[△EMN]中，由翻折可得[∠EMN=∠NMB]. 根据矩形纸条，可得[∠NMB=∠MNE]. 所以[∠EMN=∠MNE]. 所以[EM=EN]. 则求线段EN长度的最值可以转化为求线段EM长度的最值. 如图16，显然EM的最小值是2 cm，所以点E的折返位置是当[EN=2 cm]的位置处.
综上分析，动点运动过程中的目标线段可以通过相关性质、全等或相似的图形变换等知识将其转化成另一条等效线段，借助等效线段所处的图形的特征来确定目标线段的最值.
4. 三角形三边关系分析法
例5" 如图17，将一副含30°和45°角的三角板[ABC]和[EDF]拼合在同一个平面上，边AC与EF重合，[AC=][12 cm]. 当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F从点C出发沿射线BC方向滑动. 当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为" " " " .
思路引领：点D在哪里运动；确定点D的轨迹所处位置；找到起点和终点后，能发现什么；可以借助哪条目标线段来确定点D的折返位置；观察图形特征，是否可以构造与CD相关的图形；借助三角形的三边关系确定最值，寻找折返点，确定路径长.
解该题的一个难点是要先确定点D的轨迹所处位置. 借助已学知识，一般存在等腰直角三角形时，可以构造“一线三直角”模型. 如图18，作[DM⊥AC]于点M，[DN⊥BC]于点N，易证得[△DEM≌△DFN]. 所以[DM=DN]. 由此易证四边形CNDM是正方形，所以点D在[∠ACD=45°]的射线CD上运动. 分析运动的起点与终点，发现点D均在同一位置，故该运动轨迹必为折返型轨迹. 因此，可以选取CD作为目标线段，分析点D的运动方向可知，当点D发生折返时，线段CD应取得最大值. 由于[∠ECF=∠EDF=90°]，根据学习经验，当两个直角三角形共用同一条斜边时，可以选取斜边的中点，连接斜边上的中线. 故作EF的中点H，连接[CH，][DH]，显然[CH=DH=12EF=6]. 借助三角形的三边关系可知，[CD≤CH+DH=12]，所以只有当[C，H，D]三点共线时，CD取最大值为12 cm，此时点D发生折返.
综上分析，将目标线段放置在一个三角形中，若该三角形中除该线段外，其余两条线段长度都是确定的，则可以借助三角形的三边关系来确定目标线段的最值. 如图19，若线段AB是目标线段，线段AC和BC是长度确定的线段，则目标线段AB的长度范围是[AC-BC≤AB≤AC+BC].
二、方法总结
在已有学习经验的基础上，直线型轨迹问题的分析思路如图20所示.
基于上述四类方法的探究和反思，折返点位置的确定方法可以总结为“寻找—分析—求解”的“三步走”策略，具体阐述如下.
第一步（寻找）：根据轨迹位置寻找目标线段，即动点与某一定点相连产生的线段，可以借助对目标线段的最值分析确定折返点的位置.
第二步（分析）：分析图形特征，寻找基本图形或基本模型. 基本图形如抛物线、直角三角形、等腰三角形等，基本模型如一线三等角、平行平分构等腰等.
第三步（求解）：根据图形特征确定分析方法，通过求解目标线段的最值来确定折返点的位置. 常见的分析方法有以下四种.
（1）函数法. 一般在题目中有以下情况可以考虑通过构造与目标线段相关的函数来解决问题：① 存在平面直角坐标系；② 基本几何图形中两条运动的线段易于用函数表达；③ 存在含有直角的几何图形（如直角三角形、矩形等）时可以建立平面直角坐标系构造函数. 通过分析函数的最值情况来确定目标线段的最值.
（2）隐圆法. 一般当目标线段中存在直角三角形时，可以构造直角三角形的外接圆，生成“隐圆”，结合题意，通过改变半径的方式确定最值.
（3）等效线段法. 当存在基本模型或全等、相似等变换的图形时，可以思考将目标线段转化为其他线段，进而借助其他等效线段来求解最值.
（4）三角形三边关系分析法. 当存在特殊几何图形或其他特殊模型时，可以构造三角形（包含目标线段与其余两条长度确定的线段），并依据三角形的三边关系确定最值.
三、教学启示
1. 注重问题引导，促进思路形成
解决难题时，思路的引领尤为重要. 教师不仅要教会学生如何解题，还要教会学生如何思考. 因此，课堂上，教师可以采用启发与追问相结合的方式设计问题串，结合题干，从基本问题出发，逐步深入，不断引导学生进行主动探究和自主思考. 例如，在直线型轨迹问题中，教师可以借助“确定轨迹位置—确定轨迹类型—求解轨迹长度”的思路设计问题串，针对确定轨迹类型这一难点，细化相关的问题，从而降低题目的难度，引领学生思考. 这种启发与追问的方式不仅能让学生体会到师生共同参与解题的乐趣，提高学生的学习兴趣，还能潜移默化地引导学生思考问题，轻松地归纳解决问题的相关步骤.
此外，教师可以直接将问题串书写在黑板上，让学生带着问题开展小组讨论活动. 经历群体学习的过程后，学生能借鉴与吸收不同的解题思路，并结合已有的学习经验深度思考，引发自主学习. 在小组的分享与交流中，学生既能借鉴其他小组的解题思路，使问题的解决轻松又深刻，又能激发探究数学的欲望，使课堂更具趣味性. 同时，教师也能在师生互动中从学生的角度去思考问题，拓宽问题的思考方式，真正做到“教学相长”.
2. 注重角色转换，促进思想生成
在课堂上，教师是引导者，学生是被引导的对象. 教师可以借助典型例题引导学生形成解题思路，但是最终思路的落实与数学思想的生成仅凭教师的引导是无法完成的. 因此需要在讲解每一道题目的解题思路后转换师生角色，让学生成为引导者，使学生能根据教师的引导联想到其他问题的解决思路，甚至能进行主动归纳与总结. 在这个过程中，教师为学生提供一个可操作的平台即可.
例如，在直线型轨迹问题等难题的教学中，这种平台的最佳表现形式为举一反三、变式训练. 当教师引导学生完成一种类型的问题后，接着给出相应的变式训练题，让学生自主引领与解决，从而进一步巩固解题思路，强化解题方法，生成数学思想. 变式训练后，作为引导者，教师应当引导学生进行反思，反思每一类题目的共通之处，思考问题解决的方法与步骤，引发学生主动归纳与总结，再次让学生成为课堂的引导者. 通过不断地转换角色，学生的思路在引导与被引导之间不断经历着生成、落实、再生成、再落实的往复过程，借助思维的往复训练，不断提升分析问题、解决问题的能力，深化数学思想.
3. 注重方法延伸，促进思维生长
虽然解题不能没有方法，但是也不能固化思维、产生思维定式. 例如，在确定直线轨迹问题的折返点的教学中，归纳出其基本方法为转化目标线段，借助目标线段的最值来确定折返点的位置，但这不是唯一的方法，也会存在用这种方法难以解决的题目. 此时，思维的灵活性与方法的延伸至关重要，而为达成这一目的，较好的途径是借助课后作业进行巩固.
因此，教师在课后作业的选题中应关注两类题目. 一类是用于当堂内容巩固的配套训练题，如在一节课中讲解了函数法和隐圆法之后，需要布置对应的配套练习，从而巩固方法，加强思维训练；另一类是用于促进思维生长的提升训练题，这种题目应当与课堂内容相关，但又无法直接借助课堂所学方法进行解决，需要学生深度思考，从中挖掘有用信息，借助在课堂中体会到的思考问题的方式将所学方法进行延伸，从而解决问题. 在下节课中，教师可以邀请学生上台讲解自己的思路，鼓励学生一题多解，但教师仍需引导学生进行归纳与总结，让学生将看似陌生的题型与已学内容相联系，帮助学生构建从“已知”到“未知”的解题思路. 在归纳与总结的过程中，学生亲历思考的过程，感受方法的生成，内化思想，最终提升思考问题与解决问题的能力.
面对多样的题型，教师需要给学生提供平台，让学生主动探究与归纳，延伸基本方法，使学生在该过程中不断突破思维的制高点，发展思维的灵活性，促进思维生长.
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.
［2］高峰官. 构造模型法在几何最值问题中的运用［J］. 中学数学教学参考（中旬），2021（8）：19-22.
［3］蒲厚金. 一类最值问题的模型溯源与建构［J］. 中学数学教学参考（中旬），2021（9）：32-34.